阿基米德在数学方面的成就主要体现在以下几个方面：

微积分学的雏形 ：阿基米德首次将数学技术应用于物理学，提出了“无穷小”的概念，为后来的微积分学发展奠定了基础。

几何学贡献

圆的面积和周长关系：

阿基米德发现了圆的面积和圆周长之间的关系，并利用“阿基米德螺线”研究了曲线的性质。

球体积和表面积公式：他推导出球体体积和表面积的公式，并证明了球的体积是其外接圆柱体体积的三分之一。

抛物线面积：阿基米德确定抛物线截面的面积，并提供了两种独立证明。

无穷小量的使用：

阿基米德是最早使用无穷小量概念的数学家之一。他通过将几何形状分割成无数个小部分，研究其极限性质，为微积分的发展提供了重要的理论基础。

面积与体积的计算：

阿基米德通过几何推理与极限思想，奠定了微积分的基础。这些理论为后来的数学家，如牛顿和莱布尼茨，开辟了新的研究方向。

数论和代数：

阿基米德在数论和代数方面也做了大量的工作，提出了许多平面和立体几何的定理。

实际应用：

阿基米德还利用他的数学知识解决了许多实际问题，如通过“逼近法”算出球面积、球体积、抛物线、椭圆面积等。

综上所述，阿基米德在数学方面的成就不仅推动了数学和物理学的进步，更使得人类对于自然界的认知发生了革命性的变革。他的思想和方法为后来的数学家提供了重要的理论基础和研究方向，被誉为“数学之神”。