等差数列前n项和的性质及其推导过程如下：

性质

如果等差数列的前n项和公式是 \（ S_n = \frac{1}{2}（a_1 + a_n） \cdot n \），那么 \（ S_{2n-1} = a_n \）。

证明：等差数列的和是第1项与第n的和乘以n除以2，所以等差数列前奇数项的和是 \（ S_{2n-1} = \frac{1}{2}（a_1 + a_{2n-1}）（2n-1） \）。又因为 \（ a_n \） 是 \（ a_1 \） 与 \（ a_{2n-1} \） 的等差中项，即 \（ 2a_n = a_1 + a_{2n-1} \），带入成立。

推导过程

方法一：倒序相加法

1. 设等差数列的首项为 \（ a_1 \），公差为 \（ d \），前n项和为 \（ S_n \）。

2. 列出等差数列的前n项： \（ a_1, a_1 + d, a_1 + 2d, \ldots, a_1 + （n-1）d \）。

3. 将这些项逆序排列，得到： \（ a_1 + （n-1）d, a_1 + （n-2）d, \ldots, a_1 + 2d, a_1 + d, a_1 \）。

4. 将这两个等差数列相加，对应的项相加得到： \（ 2a_1 + （n-1）d, 2a_1 + （n-1）d, \ldots, 2a_1 + （n-1）d, 2a_1 + （n-1）d, 2a_1 + （n-1）d \）。

5. 由于等差数列的每一项和对称项之和都相等，所以有 \（ S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n） \）。

方法二：累加法

1. 设等差数列的首项为 \（ a_1 \），公差为 \（ d \），前n项和为 \（ S_n \）。

2. 根据等差数列的通项公式 \（ a_n = a_1 + （n-1）d \），我们可以写出前n项和 \（ S_n \） 的累加形式：

\[

S_n = a_1 + （a_1 + d） + （a_1 + 2d） + \ldots + [a_1 + （n-1）d]

\]

3. 将上述等式倒序写，得到：

\[

S_n = a_n + （a_{n-1} + d） + \ldots + [a_1 + d] + a_1

\]

4. 将两个等式相加，得到：

\[

2S_n = （a_1 + a_n） + （a_1 + a_n） + \ldots + （a_1 + a_n） \quad \text{（共n项）}

\]

5. 因此， \（ S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n） \）。

通过以上两种方法，我们可以推导出等差数列前n项和的公式为：

\[

S_n = \frac{n}{2} （a_1 + a_n）

\]

这个公式表明，等差数列前n项和等于首项与末项的和乘以项数除以2。